- Notions de base en logique et raisonnement
– Négation d’une proposition
– Connecteurs logiques et, ou, quantificateurs
– Implication, équivalence, contraposée
– Faire la traduction formelle d’énoncés élémentaires en langage naturel
– Traduire formellement des propriétés classiques sur les fonctions.
– Différents types de raisonnement et de démonstrations mathématiques.
– Raisonnement par contraposition
– Démonstration par récurrence
– Raisonnement par l’absurde
- Vocabulaire de la théorie des ensembles
– Inclusion
– Egalité de deux ensembles, double inclusion
– Intersection, réunion
– Complémentaire, lois de Morgan
– Ensemble des parties d’un ensemble
– Produit cartésien
- Fonctions, applications
– Domaine de définition
– Composition des applications
– Image directe
– Image réciproque
– Injection, surjection, bijection.
– Application réciproque
- Relations d’ordre
– Relations, exemples
– Majorants, minorants
– Plus grand élément, plus petit élément
– Borne supérieure, borne inférieure
– Fonctions et relation d’ordre : fonctions croissantes, décroissantes, fonctions majorées, minorées
– Exemples de relations d’ordre, relation de divisibilité dans N, pgcd, ppcm
– Suites et relation d’ordre : suites croissantes, décroissantes, suites majorées, minorées
- Relations d’équivalence
– Définition d’une relation d’équivalence
– Classes d’équivalence
– Ensemble quotient
– Exemples élémentaires de relations d’équivalence.
– Exemple de Z=nZ : rappels sur la division euclidienne des entiers, Bezout, définition de Z=nZ et opérations sur Z=nZ
