SPFCU06

UE Dynamical systems and non-linear physics

Unité d'enseignement (UE) de 6 crédits

^En UE enseignée en Anglais

DESCRIPTION
ORGANISATION
FORMATIONS

Contenu

Systèmes dynamiques et Chaos :
Rappels : Introduction a la notion de systemes dynamiques. Exemples de systèmes non-linéaire. Temps discret et temps continu, passage de l'un à l'autre. Rappels sur les équations différentielles et champs de vecteurs. Rappels sur les systèmes lineaires et portrait de phases.
Etude Locale : Stabilité des points fixes/équilibres pour les applications/flots. Conjugaison, Linéarisation. Fonction de Lyapunov. Variétés stables et instables. Bifurcations.
Etude Globale : Ensembles de Cantor, fractales. Notion de mesure invariante. Ergodicité et mélange. Théoreme de Birkhoff. Exposants de Lyapounov. Entropie. Propriétés de transport. Systèmes Hamiltoniens et Chaos : Rappel sur l’Equation de Liouville, Integrabilité, variables actions-angles. Theorie de perturbation, critère de Chririkov, Théorème KAM, diffusion d’Arnold.
Instabilités et auto-organisation :
Instabilités : Problématique et méthode (linéarisation, Jacobien, modes propres/séculaires, opérateur d’évolution) ; Thermoconvection (linéarisation, modes, relation de dispersion).
Oscillateur non-linéaire : Cycle limite, Anharmonicité, Dynamique d’amplitude
Variété centrale : Modes centraux/esclaves, Réduction à la variété centrale, Bifurcations de co-dimension 1
Structures spatio-temporelles : Analyse multi-échelles (dynamique d’enveloppe, modèle de Swift-Hohenberg, alternative de Fredholm) ; Dynamique et instabilités de phase.

Compétences à acquérir

Comprendre l’origine du chaos ; savoir le caractériser et l’utiliser.

Savoir réaliser l’analyse de stabilité linéaire d’un état stationnaire et utiliser sa relation de dispersion à des fins prédictives.

Savoir gérer les interactions de mode et identifier leurs non-linéarités essentielles ainsi que les formes normales de la dynamique.

Savoir déduire des formes normales les caractéristiques des états à court et long terme, leur stabilité et leurs attracteurs.

Langue(s) d'enseignement

Anglais

Bibliographie

H.G.Schuster, Deterministic Chaos, VCH Publishers

P. Manneville, Structures dissipatives, chaos et turbulence, Collection Aléa Saclay

L'ordre dans le chaos, P. Bergé, Y. Pomeau, C. Vidal, Hermann

The Physics of Chaos in Hamiltonian Systems, G. Zaslavsky

Prérequis obligatoires

Calcul différentiel/intégral

Algèbre vectorielle

Fonction de plusieurs variables

Prérequis recommandés

Concept et représentation de champs

Portraits de phase à deux dimensions

Notions de dynamique des fluides et mécanique de licence

Modalités d'organisation

Le cours est composé de deux parties traitées par deux intervenants.

Chacune développe le cours en lien avec des exercices de compréhension et d’application.

Deux devoirs sont à rendre sur l’ensemble, leurs notes comptant en terme de contrôle continu.

Un examen terminal clôt l’évaluation.

Volume des enseignements

Cours magistraux: 30 heures
Travaux dirigés: 30 heures
Volume total: 60 heures

Responsables pédagogiques:

LEONCINI Xavier

Codes APOGÉE

SPFCU06C [ELP]