Ce cours est une introduction aux techniques d’étude des équations aux dérivées partielles (EDP) les plus basiques. On se restreindra à la dimension 1 d’espace.
• Equation elliptique : un exemple de problème aux limites
◦ Résolution de l’équation de Laplace via la méthode de tir
◦ Introduction de l’espace de Sobolev H1(0,1)
◦ Formulation variationnelle associée à l’équation et résultat d’existence et d’unicité. Régularité des solutions.
◦ Discrétisation du problème via des approximation de type différences finies. Etude des schémas et implémentation de ces schéma sous python.
• Equation de transport à vitesse constante
◦ Résolution via la méthode des caractéristiques
◦ Introduction de la notion de solutions faibles et résultats d’existence et d’unicité des solutions faibles
◦ Propriétés qualitatives des solutions (propagation à vitesse finie, ...)
◦ Discrétisation de ces équations via des méthodes différences finies. Etude des schémas et implémentation de ces schémas sous python
• Equation de la chaleur dans R ou sur un intervalle
◦ Résolution via Fourier
◦ Propriétés qualitatives des solution (propagation à vitesse infinie, principe du maximum,…)
◦ Discrétisation par des méthodes différences finies. Comparaison des méthodes explicites et implicites. Etude des schémas (consistance, stabilité et convergence). Implémentation sous python de ces schémas.