Introduction aux notions de base d’analyse fonctionnelle
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Espaces de Banach. Notion de norme sur un espace vectoriel. Suites convergentes et notion d'espace de Banach. Théorème du point fixe.
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Exemples en dimension finie. Complétude. Notion de Compacité et lien avec les fermés bornés. Illustration en biologie : recherche d'optimum. Comportements de suites récurrentes. Recherche de points fixes pour des systèmes dynamiques discrets. Notion de stabilité/instabilité d'un point fixe.
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Exemples en dimension infinie. Exemples d'espaces fonctionnels classiques. Fonctions continues sur un intervalle, C(K,Rn), H1([0,1]), espace des fonctions périodiques. Opérateurs et transformations continues.
-Exemples d'utilisation du théorème du point fixe. Illustration par la biologie.
-Résolution d'équations fonctionnelles, d'équations intégrales
- Etude de propriétés de densité et d'approximation (Dirichlet, phénomène de Gibbs, théorème de Féjer, théorème de Weierstrass)