L’objectif de ce cours est de fournir aux étudiants les méthodes mathématiques permettant d’évaluer un actif financier.
Plan du cours détaillé :
1. Variables gaussiennes et Processus stochastiques
1.1 Variables gaussiennes unidimensionnelles
1.2 Vecteurs gaussiens
1.3 Processus stochastiques
2. Les mouvements browniens
2.1 Construction comme processus gaussiens
2.2 Accroissement, propriété de Markov et martingale
2.3 Propriété d’invariance
2.4 Propriétés trajectorielles
2.5 Complément sur le pont brownien
3. Intégration stochastique et semi-martingales
3.1 Intégration par rapport à un mouvement brownien
3.2 Introduction à la théorie générale de l’intégration stochastique
3.3 Formule d’Itô et premières applications
4. Équations différentielles stochastiques
4.1 Quelques motivations
4.2 Solutions fortes d’EDS
4.3 Quelques exemples
5. EDP paraboliques, diffusion brownienne et semi-groupes
5.1 Le mouvement brownien et les EDP paraboliques linéaires
5.2 La formule de Feynman-Kac générale
5.3 Semi-groupes
6. Changement de mesure
6.1 L’espace de Wiener
6.2 Changement de mesure et théorème de Girsanov
7. Introduction aux mathématiques financières
7.1 Modèle de Black et Scholes
7.2 Portefeuille et réplication d’option