I- Rappels sur les nombre complexes (2h de CM + 3h de TD)
I-a Premières définitions
Ensemble des nombres complexes, complexe conjugué, parties réelles et imaginaires, module.
I-b Le plan complexe
Représentation graphique d’un nombre complexe, interprétation graphique du module, argument d’un nombre complexe, exponentielle complexe, formules d’Euler et de Moivre
I-c Racine n-ième de l’unité
Résolutions de z^n = w pour w dans C.
II - Equations différentielles linéaires. (4h de CM + 6h de TD)
II-1 Rappels des primitives usuelles (liste à distribuer qu’ils doivent connaître)
II-2 Equations différentielles linéaire du premier ordre
Définition, résolution des équations homogènes (exemples), théorème de superposition, solution générale avec second membre, méthode de la variation des constantes (exemples).
II-3 Equations différentielles linéaires du second ordre (coefficients constants)
Définition, Equation caractéristique, solutions de l’équation homogène (exemples), structure de l’espace des solutions avec second membre, variation des constantes pour trouver une solution particulière (exemples).
II - 4 Motivations : Circuits RC et Circuits RLC
III- Analyse de Fourier (6h de CM + 9h de TD)
II-1 Pré-requis: Intégrales généralisées
Définitions , illustration avec l’aire sous la courbe (exemples: exponentielles, intégrales de Riemann…), stabilité par CL, positivité de l’intégrale, absolue convergence implique convergence, critères de comparaison (exemples).
II-2 Transformée de Fourier
II-2 a) Définition de la transformée de Fourier et de son inverse, espace des fonctions de « masse finie » (L^1(R)) et d’énergie finie (L^2(R)), exemple du signal porte, notion d'égalité dans L^2(R). Cas où la formule d’inversion est vraie.
II-2 b) Calculs de transformées de Fourier : Signal triangle, Signal exponentiel, Signal exponentiel tronqué, Signal porte, Signal Gaussien.
II-2 c) Propriétés de la transformée de Fourier: fonctions paires, impaires, linéarité, décalage du spectre, Riemann-Lebesgue, comportement par rapport à la dérivée. Lien régularité de la fonction et décroissance de la transformée de Fourier.
II-2 d) Analyse L^2(R) : produit scalaire dans L^2(R), égalité de Parseval, injectivité dans L^2(R), Formule de dualité.
II-2 e) Application au circuit RC avec un terme source L^2(R).
