Introduction à la théorie de la mesure (10h) :
Tribus, tribus engendrées, applications mesurables, mesures positives, théorème pi-lambda. Tribu borélienne, mesure de Lebesgue, intégrale de Lebesgue de fonctions réelles, espaces Lp, théorèmes de cv monotone, cv dominée [ex : Borel Cantelli], espaces produits, théorème de Fubini-Tonelli
Séries de Fourier (4h):
Preuves théorèmes de Dirichlet, Féjer et Parseval (preuve pour les fonctions continues), lien espace L2 Hilbert (pour la culture).
Transformée de Fourier (10h) :
transformée Fourier dans l’espace L1, convolution, inversion de Fourier, transformée Fourier dans l’espace L2 [en admettant la densité de l'espace de Schwartz], théorème de Plancherel.
Fonction caractéristique, caractérisation de la convergence en loi avec les fonctions caractéristiques, avec les fonctions de répartition, théorème porte-manteau (preuve TCL si le temps le permet)
