Déterminants (8h) :
Déterminant d’une famille de vecteur. Bases et déterminant non nul. Déterminant d’un endomorphisme, d’une composée. Déterminant d’une matrice carrée, d’un produit. Calcul de déterminant. Développement par rapport à une ligne ou une colonne. Déterminant d’une matrice triangulaire par bloc. Comatrice. Expression de l’inverse d’une matrice inversible.
Réduction des endomorphismes (26h) :
Matrices semblables, équivalentes. Changement de base. Sous-espaces stables par un endomorphisme. Eléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée. Sous-espaces propres en somme directe.
Polynôme caractéristique. Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres. Multiplicité. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme induit.
Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables. Cas de n valeurs propres distinctes. Lien avec polynôme caractéristique.
Theorème de Cayley-Hamilton (admis) et Lemme des Noyaux (admis)
Espaces Préhilbertiens (10h) :
Définition de produit scalaire et exemples (produit standard de R^n, trace du produit pour les matrices symétriques, intégrales sur les espaces des fonctions continues). Vecteurs orthogonaux et familles libres. Définition de norme et exemples (1 et infini). Théorème de Cauchy-Schwarz et norme induite par un produit scalaire ; relation du parallélogramme.
Projection orthogonale d'un vecteur sur un vecteur non nul. Cosinus de l'angle non orienté, théorèmes du cosinus et de Pythagore. Sous-espace orthogonal d'un sous-ensemble ou sous-espace. Somme directe orthogonale.
Base orthogonale et orthonormée. Coordonnées dans une base orthonormée. Algorithme d'orthonormalisation de Schmidt. Existence d'un supplémentaire orthogonal en dimension finie ; notion de sous-espaces orthogonaux et perpendiculaires.
Projections et Symétries orthogonales.
Géométrie Euclidienne (16h) :
Isométries et leurs propriétés ; définition du groupe orthogonal. Matrices orthogonales. Endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques. Projections orthogonales. Matrice d'un produit scalaire par rapport à une base ; matrices congruentes.
Classification des isométrie vectorielles en dimensions 2 et 3. Lien avec le vecteur vitesse angulaire en physique, vecteur rotation (et produit vectoriel).
Introduction aux espaces Vectoriels Normés (12h) :
Normes, Boules ouvertes fermées. Ouvert, Fermé, Intérieur Adhérence. Convergence de suites. Définition de la continuité. Quelques exemples d’utilisation de Bolzano-Weierstrass, équivalence des normes et continuité des applications linéaire (admis).
