Connaissances du cours
La définition abstraite de forme bilinéaire et le lien avec l’expression en coordonnées doivent être compris. Les notions et résultats fondamentaux sur les espaces euclidiens (produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, isométries, opérateurs autoadjoint) doivent être assimilés ainsi que le lien avec la géométrie du plan et de l’espace.
Les démonstrations “élémentaires” (celles qui suivent immédiatement des définitions données) devraient pouvoir être reproduites avec aisance par les étudiants (par exemple il faut savoir immédiatement montrer qu’une forme bilinéaire est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base quelconque l’est, que les isométries ou opérateurs autoadjoints préservent l’orthogonal d’un sous-espace stable, ou que des sous-espaces orthogonaux sont en somme directe...). Certaines démonstrations plus conséquentes mais élémentaires (classification des isométries planes, Cauchy–Schwarz) devraient aussi être connues. Les démonstrations plus élaborées (théorème spectral en particulier) ne sont pas exigibles.
Le lien de l’orthogonalité avec les équations de sous-espaces pourra être évoqué dans des exercices mais il n’est pas question d’étudier la dualité en général.
Compétences
Du point de vue calculatoire il faut savoir :
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Calculer l’orthogonal d’un sous-espace.
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Utiliser l’algorithme de Gram–Schmidt pour donner une base orthonormée (en particulier pour les espaces de polynômes de degré inférieur ou égal à 2 ou 3 au maximum).
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Reconnaître une isométrie et donner ses éléments géométriques en dimension 2 et 3 (axe, angle pour les rotations ; miroir pour les réflexions).
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Réduire une conique euclidienne (c’est à dire déterminer son type et trouver les axes).
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Déterminer la signature d’une forme quadratique en 3 variables.
Du point de vue plus théorique il s’agit de continuer la formation à la réflexion dans un cadre abstrait guidée par l’intuition géométrique entamée dans les UEs d’algèbre linéaire des semestres 3 et 4.