Connaissances du cours
Prérequis, qui devront être évalués : bijection, bijection réciproque, composition d’applications, produit de matrices, divisibilité dans ℤ, division euclidienne, calculs modulo n.
Les définitions, théorèmes doivent tous être connus parfaitement.
La définition d’un groupe doit être connue exactement avec les quantificateurs ; l’unicité de l’élément neutre et des inverses doit pouvoir être démontrée à partir des axiomes.
Le passage d’une notation à une autre des permutations (diagramme, matricielle, cycles), la composition et l’inversion avec ces diverses représentations doivent devenir des automatismes de calcul pendant ce cours.
Calculer la décomposition en cycles à support disjoint d’une permutation et son ordre doivent être acquis à la fin de ce cours.
Connaître les éléments du groupe additif ℤ∕nℤ et leurs ordres, identifier ce groupe avec le groupe des racines complexes n-ièmes de l’unité.
Le programme est un peu long et les deux derniers points du programme ne pourront pas être traités en profondeur, et il ne faudra pas hésiter à admettre certains points.
Compétences
Connaître des exemples de groupes, déterminer si un ensemble muni d’une loi est un groupe, identifier l’élément neutre, les inverses, reconnaître si un groupe est commutatif.
Exemples à connaître : (ℤ,+), (ℚ,+), GL2(ℝ), Sn, ℤd, (ℚ*,×,1), (ℤ∕nℤ,0) sont des groupes, (ℕ,+), (ℤ,×) ne sont pas des groupes.
Savoir définir Sn, connaître son cardinal, les injections de Sn dans Sm pour n ≤m. Pouvoir lister les différents types d’éléments de Sn pour n ≤5 (c’est-à-dire les classes de conjugaison) sans pour autant connaître la conjugaison. Connaître l’ordre de ces éléments.
Savoir calculer l’ordre d’une permutation, l’ordre d’un élément de ℤ∕nℤ. Connaître des éléments d’ordre infini.
Connaître les sous-groupes de ℤ.