Les nombres entiers. Propriétés des opérations du calcul. Propriétés de l’ordre usuel.
Principes de démonstration et rédaction de démonstration (raisonnement par récurrence, par l’absurde, démonstration d’équivalences, contraposition, disjonction des cas, etc.). Introduction progressive du langage ensembliste : notion d’ensemble, égalité d’ensembles, inclusion, intersection, union. Lien avec les connecteurs logiques.
Divisibilité, algorithme d’Euclide, l’identité de Bezout et sa résolution. Lemme de Gauss. Décomposition unique d’un nombre entier comme produit de facteurs premiers, démonstration. Relation de congruence, calcul dans Z/nZ, utilisations diverses.
Compléments de langage ensembliste : notion de relation, propriétés usuelles, relation d’ordre (exemples de l’ordre usuel, de l’ordre de la divisibilité), relation d’équivalence. Le passage au quotient et comment y penser.
Écriture décimale pour les nombres entiers et les nombres rationnels, changement de base. Périodicité de l’écriture décimale des nombres rationnels. Lien avec l’ordre de 10 dans (Z/nZ)*.
Dénombrement (arrangements, combinaisons, n!), démonstration de la formule du binôme.
Application, injection, surjection, bijection. Ex : ln vs. exp, fonctions trigonométriques réciproques. Interprétation géométrique sur le graphe. Exemples issus de l’arithmétique et du dénombrement.
Compétences à acquérir
Comprendre un raisonnement mathématique : en dégager les arguments clef et les étapes et y détecter les défauts éventuels.
Construire et rédiger un raisonnement mathématique de façon rigoureuse et autonome.
Comprendre le rôle des objets mathématiques élémentaires dans l’interprétation du langage mathématique.
Traduire un problème simple en langage mathématique.
Rédiger en français de façon claire et rigoureuse la solution d’un problème mathématique (exercice, preuve...) et la présenter oralement