1. Rappel sur Z, division euclidienne. Nombres premiers. Décomposition en facteurs premiers. Plus grand commun
diviseur (PGCD) et plus petit commun multiple (PPCM). Théorème de Bachet-Bézout. Congruence
modulo n, Z/nZ. Opérations sur Z/nZ. Eéquations diophantiennes ax + by = c. Lemme chinois.
2. Groupes. Exemples : Z/nZ, (Z/nZ)*, groupes de matrices, groupes de symétrie, groupes diédraux. S(M), Groupes symétriques, décomposition d’une permutation en cycles disjoints, signature. Homomorphismes, monomorphismes,
épimorphismes, isomorphismes, automorphismes intérieurs. Ordre d’un élément, sous-groupe monogène.
Groupe cyclique. Sous-groupe, sous-groupe distingué. Noyau et image. Centre d’un groupe. Classes à gauche
et à droite suivant H. Groupe quotient. Théorèmes d’isomorphismes. Théorème de Lagrange. Applications :
ordre d’un élément du groupe, le petit théorème de Fermat, l’indicatrice et le théorème d’Euler.
3. Anneaux.
Définition (les anneaux sont supposés unitaires par définition). Exemples : Z, K[X], Mn,n(K), End(V ), etc.
Formule du binôme pour des éléments commutables. Idéaux d’un anneau commutatif. Classes remarquables
d’idéaux (premiers, maximaux, principaux). Morphismes d’anneaux. Anneaux commutatifs intègres. Anneaux
quotients. Anneaux principaux, anneaux euclidiens, anneaux factoriels.
L’anneau K[X]. Division euclidienne dans K[X]. Idéaux de K[X]. PGCD et PPCM dans K[X]. Théorème
de Bézout. Algorithme d’Euclide. Polynômes irréductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Racines, ordre de multiplicité, polynômes scindés. Correspondance entre polynômes et fonctions
polynômes. Cas ou K = Z/pZ, p étant un nombre premier. Relations entre coefficients et racines d’un
polynôme scindé. Théorème de d’Alembert-Gauss (énoncé), polynômes irréductibles sur R et C.