FormationsLicence généraleMathématiquesMathématiques-biologie

Licence MathématiquesParcours Mathématiques-biologie

Objectifs

L’objectif du parcours Mathématiques-biologie de la licence de Mathématiques est double :

  • former des mathématiciens initiés à des modèles mathématiques utilisés en biologie, et possédant des connaissances en biologie qui les rendent capables d’interagir avec des biologistes,
  • permettre aux étudiants de rejoindre des masters de biologie (bioinformatique biochimie structurale et génomique, développement et immunologie) avec un bagage solide en mathématiques très recherché dans certains secteurs de la biologie.

Formation et recherche

Ce parcours bénéficie de la présence sur les différents sites de laboratoires de recherche de renommée internationale dans toutes les disciplines enseignées, en particulier en mathématiques (I2M). La plupart des enseignants de la licence de Mathématiques mènent des activités de recherche dans ces laboratoires.

Pré-requis obligatoires

Cette Licence est ouverte à tout titulaire d'un Baccalauréat Scientifique ou de tout autre diplôme équivalent. Pour les étudiants des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles des lycées, la double inscription est fortement conseillée. Des dispositions spéciales sont mises en place pour les examens du L1 et pour l'admission en L2 et en L3.

Pré-requis recommandés

Un Baccalauréat Scientifique est préférable.

Régimes d'inscription

Cette formation est accessible en

Formation initiale
Formation continue

Compétences visées

L’objectif spécifique de ce parcours en termes de compétence est triple :

  • Maîtriser les connaissances fondamentales en mathématiques et en biologie,
  • Savoir modéliser une situation issue de la biologie par des outils mathématiques
  • Savoir utiliser des logiciels de calcul

Métiers visés

Codes ROME :

Spécialités de formation (code NSF) :

  • 114b : Modèles mathématiques ; Informatique mathématique
  • 114c : Mathématiques de la physique, de la chimie, de la biologie

Stages et projets encadrés

Cette licence comporte des stages optionnels en L2 et L3. Elle offre aussi la possibilité d'effectuer des stages supplémentaires bonifiés ainsi que des projets tutorés, notamment d'initiation à la recherche.

Volume des enseignements

  • Cours magistraux : 616 heures
  • Travaux dirigés : 964 heures
  • Travaux pratiques : 38 heures

Modalités pédagogiques particulières

Les enseignements sont pour la plupart délivrés sous la forme de cours, TD et TP. Les enseignements en biologie sont mutualisés avec la Licence de Biologie. Les TPs d'informatique sont réalisés sur du matériel de qualité, renouvelé régulièrement.

Modalités de contrôle des connaissances

Les contrôles de connaissances se font selon les Ues soit sous forme de contrôles continus, soit sous la forme partiel + Examen final (sauf Ues spécifiques avec TP, ou stages).

Semestre 1 de tronc-commun

[ détails ]

  • Introduction à l’analyse (6 crédits)

    Code : ENSMI1U1Langue : Français.

    Contenu : Bases du raisonnement mathématique . Éléments de théorie des ensembles. Applications, relations : image réciproque, image directe, injection, surjection, bijection. Fonctions de R dans R . La droite réelle. Inégalités dans R, valeur absolue. Fonctions monotones, bornées, périodiques, graphe d'une fonction, composition de deux fonctions. Fonctions usuelles. Dérivée d’une fonction composée. Fonctions réciproques des fonctions bijectives usuelles. Intégrales et primitives . Primitives d’une fonction, intégrale d’une fonction sur un intervalle, intégrale et aire, opérations sur les primitives, primitives des fonctions usuelles, intégration par parties, changement de variable. Équations différentielles . Équations différentielles linéaires du premier ordre et second ordre à coefficients constants. Problème de Cauchy. Méthode de variation de la constante. Oscillateur harmonique.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Géométrie et arithmétique 1 (6 crédits)

    Code : ENSMI1U3Langue : Français.

    Contenu : Calcul vectoriel. Le plan R2 et l'espace R3. Opérations sur les vecteurs, produit scalaire, orthogonalité, norme, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, déterminant de 2 vecteurs du plan, produit vectoriel. Bases et repères, vecteur directeur d’une droite et base d’un plan, système d'équations paramétriques, équations cartésiennes. Nombres complexes. Rappels sur les complexes, notation algébrique, opérations, conjugué, module, formules d’Euler, notation exponentielle. Racines carrées, racines n-ièmes de l’unité puis d’un complexe quelconque, somme des racines n-ièmes de l’unité. Utilisation de C en géométrie plane. Polynômes. Polynômes à coefficients dans Q, R ou C. Degré, opérations sur les polynômes, polynôme dérivé, formule du binôme, racines. Théorème de d’Alembert-Gauss. Division euclidienne, factorisation, multiplicité d’une racine, nombre de racines.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Introduction informatique et programmation (6 crédits)

    Code : ENSIN1U1Langue : Français.

    Contenu : ­ Introduction à l'informatique : . présentation d'un modèle d'ordinateur ; . utilisation du système et compilation ; . codage des entiers et caractères. ­ Initiation au langage C : . variable, notion d'adresse, types simples ; . opérateurs, expressions, type des expressions ; . instructions, structures de contrôle ; . tableaux, chaînes de caractères ; . fonctions par valeurs, portée des variables, blocs ; . entrées­sorties, fichiers bufferisés.

    Volume horaire : 20h de CM - 20h de TD - 20h de TP - 

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  • 6 crédits à choisir
    • Panorama du monde vivant (6 crédits)

      Code : ENSBI1U1Langue : Français.

      Contenu : Donner aux étudiants les fondamentaux d'une classification phylogénétique du vivant. Pour cela il faudra : présenter la diversité du vivant à travers une sortie de terrain pluridisciplinaire et suivie de l'analyse de ce qui aura été observé et/ou collecté ; définir les liens de parenté entre les espèces par l'intermédiaire de reconstructions arborées. Les étudiants devront prendre connaissance des principes et méthodes d'élaboration de ces « arbres » en utilisant des algorithmes d'agglomération simples. Il faudra faire en sorte que les étudiants n'aient pas une vision gradiste de l'évolution de la diversité biologique en sachant interpréter convenablement un dendrogramme et leur faire comprendre ce qu'est une nouveauté évolutive (la synapomorphie) sur le plan morpho-anatomique et son importance en classification phylogénétique.

      Volume horaire : 12h de CM - 48h de TD - 48h de TP - 

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    • UE12 Physique (6 crédits)

      Code : ENSPC1U2Langue : Français.

      Volume horaire : 23h de CM - 34h de TD - 15h de TP - 

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      • Physique Newtonienne 1 (3 crédits)

        Code : ENSPC1V2ALangue : Français.

        Contenu : Cinématique (référentiels / repères / vecteurs) ; Dynamique (lois de Newton) dans un référentiel galiléen ; Puissance travail énergies ; Oscillateurs (harmoniques, amortis, forcés…).

        Volume horaire : 14h de CM - 22h de TD - 6h de TP - 

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      • Optique géométrique (3 crédits)

        Code : ENSPC1V2BLangue : Français.

        Contenu : Relations de Descartes-Snell et principe de Fermat Approximations de Gauss Réflexion : miroirs Réfraction : dioptres, lentilles Association d'éléments d'optique, quelques instruments d'optique Défauts de l'oeil et leur correction.

        Volume horaire : 9h de CM - 12h de TD - 9h de TP - 

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    • Diversité du monde vivant (6 crédits)

      Code : ENSNT1U1Langue : Français.

      Contenu : rappel des bases de l'évolution biologique principe de la classification linéenne et de la classification phylogénétique présentation générale des 3 domaines du vivant (Archées, Bactéries, Eucaryotes) et de leur origine commune présentation des relations phylogénétiques au sein des eucaryotes et focus sur 3 des 4 taxons les plus diversifiés : Eumycètes et Métazoaires (Opisthochontes) ; Archaeplastidia (plus précisément Viridiplantae).

      Volume horaire : 32h de CM - 4h de TD - 24h de TP - 

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    • Introduction à la biologie (6 crédits)

      description non disponible.

  • Outils informatiques C2i (3 crédits)

    description non disponible.

  • Anglais S1 (3 crédits)

    description non disponible.

Semestre 2 de tronc-commun

[ détails ]

  • Analyse 1 (6 crédits)

    Code : ENSMI2U1Langue : Français.

    Contenu : Suites. Suites majorées, minorées, monotones. Suites arithmétiques et géométriques. Suites définies par récurrence. Convergence des suites. Majorant, minorant, borne supérieure. Suites adjacentes. Suites extraites, valeur d’adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Fonction d’une variable réelle. Limites, continuité, dérivabilité. Théorème des valeurs intermédiaires, théorème de Rolle, théorème et inégalité des accroissements finis. Dérivées d’ordre supérieur, règle de Leibniz. Développements limités. Formule de Taylor-Young. Développements limités des fonctions usuelles et applications.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Algèbre linéaire 1 (6 crédits)

    Code : ENSMI2U2Langue : Français.

    Contenu : Systèmes linéaires et matrices. Produit matrice vecteur, méthodes du pivot de Gauss, inverse d'une matrice. Méthode LU et méthode de Gauss-Jordan. Déterminant d'une matrice 2×2. Échelonnement d'une matrice, calcul de l'image et du noyau. Espaces vectoriels sur R ou sur C. Définitions, sous- espaces vectoriels, sommes de sous-espaces, sous-espace engendré par une famille de vecteurs. Familles libres, génératrices, dimension et bases (en dimension finie). Rang d’un système de vecteurs. Produit scalaire usuel dans Rn et orthogonalité. Orthogonalité de Ker A et Im A^t. Applications linéaires. Noyau, image, théorème du rang. Matrice d’une application linéaire dans une base, changement de base.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Programmation (6 crédits)

    Code : ENSIN2U1Langue : Français.

    Contenu : ­ Approfondissement du langage C : types complexes (structures et unions, tableaux bidimensionnels, etc) ; gestion de la mémoire (pointeurs, allocation dynamique, dé­référence) ; librairie standard, fonctions sur les chaînes de caractères ; compléments sur les fonctions : passages de paramètres, portée des variables, récursivité. ­ Structures de données linéaires : liste, pile, file ; implémentation par tableaux et par listes chaînées ; recherche séquentielle, dichotomique ; tri simple. ­ Méthodologie : analyse ascendante et descendante, structuration de données, notions de preuve et de dénombrement ; programmation itérative et récursive. ­ Réalisation d'un mini­projet.

    Volume horaire : 20h de CM - 20h de TD - 20h de TP - 

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  • Automates et circuits (6 crédits)

    Code : ENSIN2U2Langue : Français.

    Contenu : ­ Ensembles, fonctions, relations, quotient d'une relation. ­ Ordres, treillis, algèbre de Boole. ­ Fonctions booléennes, circuits combinatoires. ­ Codage (bases, numération, caractères), codes correcteurs. ­ Machines de Mealy, machines de Moore ; minimisation d'une machine.

    Volume horaire : 20h de CM - 30h de TD - 10h de TP - 

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  • Anglais S2 (3 crédits)

    description non disponible.

  • Carte des métiers / Projet Personnel et Professionnel Étudiant (CdM / PPPE) (3 crédits)

    Code : CASPPPCA1Langue : Français.

    Contenu : Mettre en projet une idée, une recherche collective pour donner du sens au parcours individuel Découvrir les différents domaines et activités professionnelles accessibles à l’issue des études (Carte des métiers). Donner du sens à un projet personnel professionnel et de formation en le confrontant à la réalité professionnelle Acquérir des connaissances de base en communication écrite et orale et en projet Résultats attendus : première évaluation du projet personnel professionnel. Définir, conforter ou remettre en question le projet personnel professionnel et de formation de l’étudiant ; initier un réseau professionnel.

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Semestre 3 du parcours MB

[ détails ]

  • Analyse 2 (6 crédits)

    Code : ENSMI3U1Langue : Français.

    Contenu : Suites et séries numériques. Suites de Cauchy et convergence. Séries absolument convergentes. Séries à termes positifs, critères de comparaison, séries de références (géométriques, Riemann), critères de Cauchy et de d'Alembert. Équivalents des sommes partielles et des restes. Produit de séries absolument convergentes. Séries alternées. Suites et séries de fonctions. Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions réelles ou complexes. Continuité, dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions. Approximation uniforme des fonctions continues, théorème de Stone-Weierstrass. Séries de fonctions, convergence simple, convergence uniforme, convergence normale. Continuité et dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Interversion des séries et intégrales. Séries entières. Rayon de convergence. Continuité, dérivabilité, intégrabilité. Expression intégrale des coefficients. Fonctions développables en série entière, développements de fonctions usuelles.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Algèbre linéaire 2 (6 crédits)

    Code : ENSMI3U2Langue : Français.

    Contenu : Déterminant. Déterminant d’une matrice carrée, propriétés fondamentales et calculs de déterminants. Groupe de permutations d'un ensemble fini, décomposition d'une permutation en produit de cycles disjoints, de transpositions. Signature d'une permutation. Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n, déterminant sur une base d'un système de vecteurs, changement de base. Déterminant d'une application linéaire. Déterminants extraits et caractérisation du rang d'une matrice. Réduction des endomorphismes. Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres d'un endomorphisme. Polynôme caractéristique. Théorème de Cayley-Hamilton. Endomorphisme diagonalisable, trigonalisable, caractérisation. Réduction simultanée. Dualité. Formes linéaires, hyperplans. Espace dual, base duale. Application transposée, lien avec les matrices.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Calcul intégral (6 crédits)

    Code : ENSMI3U3Langue : Français.

    Contenu : Intégrales. Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment, fonction intégrable. Propriétés de l'intégrale. Sommes de Riemann. Inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Intégrale et primitives, théorème fondamental du calcul intégral. Méthodes de calcul approché d'une intégrale (rectangles, trapèzes, Simpson...). Calculs d'intégrales multiples, changements de variables. Volume, aire, moment. Intégrales généralisées. Convergence, divergence. Propriétés élémentaires. Intégrales absolument convergentes. Cas des fonctions positives, critères de comparaison. Fonctions de référence. Changement de variables. Comparaison entre la convergence des intégrales généralisées et des séries. Intégrales et suites de fonctions. Convergence uniforme. Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée (admis dans ce cours). Séries de Fourier . Définition des coefficients de Fourier d'une fonction périodique et continue par morceaux. Théorème de Riemann-Lebesgue. Théorème de convergence ponctuelle et uniforme de Dirichlet, théorème de Parseval.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Atelier problèmes et rédaction scientifique (3 crédits)

    Code : ENSMI3U4Langue : Français.

    Contenu : Travail d'écriture et de rédaction en mathématiques à partir de la résolution de problèmes de concours ou d'examens, ou de démonstrations importantes déjà connues. Travail sur la compréhension de la structure d'articles scientifiques, sur le résumé d'articles, ainsi que la rédaction d'un petit projet scientifique et sa présentation écrite et orale. Le projet pourra être écrit en Latex.

    Volume horaire : 30h de TD - 

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  • Biochimie (les molécules de la vie) (6 crédits)

    Code : ENSBI1U2Langue : Français.

    Contenu : La biochimie : ses objectifs, ses méthodes. L'eau : Propriétés particulières, les liaisons hydrogène, la notion de polarité, électronégativité des éléments, le principe des pH, Ka, pKa Les acides nucléiques : Structure des nucléotides, structure de la double hélice, les différents types d'ARN, les méthodes expérimentales associés. Acides aminés et peptides : Structures, propriétés particulières (ionisation, propriétés spectrales), relations structure-fonction, les approches expérimentales associées Les glucides : les mono-, di- oligo-, poly-saccharides, le stockage énergétique, la relation structure-fonction, les polysaccharides de surface, les approches expérimentales associées. Les lipides : les acides gras, mode de construction des lipides complexes : les mono- di-et tri-glycérides, les glycérophospholipides, les sphingolipides, vue générale d'une membrane biologique, les approches expérimentales associées.

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  • Anglais S3 (3 crédits)

    description non disponible.

Semestre 4 du parcours MB

[ détails ]

  • Fonctions de plusieurs variables (6 crédits)

    Code : ENSMI4U1Langue : Français.

    Contenu : Topologie de Rn . Normes sur Rn. Suites convergentes dans Rn. Parties ouvertes et fermées de Rn. Adhérence, intérieur, frontière d'une partie. Fonction continue en un point, caractérisation par les suites. Fonction continue sur une partie de Rn. Continuité uniforme. Théorème de Heine. Dérivées partielles et différentielle - Dérivées partielles d'une fonction définie sur un ouvert de Rn, fonctions de classe C1. Gradient, divergence, rotationnel. Matrice jacobienne. Différentielle en un point. Dérivées partielles d'une fonction composée. Inégalité des accroissements finis. Dérivées partielles d'ordre supérieur. Théorème de Schwarz. Formule de Taylor-Young. Recherche d'extrema de fonctions.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Probabilités et statistiques 1 (6 crédits)

    Code : ENSMI4U2Langue : Français.

    Contenu : Probabilités. variables aléatoires, loi, espérance, variance, fonctions génératrices. Lois usuelles. Statistiques. tests d'hypothèses ; estimation ponctuelle, par intervalle. Modèle gaussien. Loi et tests d'hypothèses.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Géométrie et arithmétique 2 (6 crédits)

    Code : ENSMI4U11Langue : Français.

    Contenu : Introduction aux groupes. Groupe, sous-groupe, homomorphisme, groupe cyclique, groupe quotient, théorème de Lagrange. Arithmétique : divisibilité, division Euclidienne, Bézout, théorème chinois, congruences et relations d'équivalence et le groupe Z/nZ (partition, quotient). Énoncé du théorème de classification de groupes abéliens finis. RSA. Le groupe symétrique Sn, action, orbites, permutations, Décomposition en cycles disjoints et en transpositions- Signature Géométrie euclidienne et groupes des matrices. Espaces vectoriels euclidiens. Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, norme euclidienne, distance à partir d'une norme. Orthogonalité, projection orthogonale, bases orthonormales, orthonormalisation de Schmidt, interprétation matricielle ; décomposition QR d'une matrice. Groupes orthogonaux, isométries. Adjoint d'un endomorphisme. Réduction d'un endomorphisme symétrique. Isométries linéaires de R2 et R3.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Biologie Cellulaire (6 crédits)

    Code : ENSBI2U3Langue : Français.

    Contenu : Introduction Les membranes biologiques Notions sur le cytosquelette Mitochondries et Chloroplastes Le noyau Adhérences cellulaires et communications cellulaires Divisions cellulaires

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  • Anglais S4 (3 crédits)

    description non disponible.

  • 3 crédits à choisir
    • Stage de 3 crédits

      description non disponible.

    • Unité libre de 3 crédits

      description non disponible.

    • Maths en Jeans 1 (3 crédits)

      Code : ENSMI4U7Langue : Français.

      Contenu : Initiation à la méthodologie de recherche scientifique par un travail sur des problèmes de mathématiques ouverts, en liaison avec d'autres disciplines.

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    • Métiers de l'enseignement 1 (printemps) (3 crédits)

      Code : CASEDUC2

      Contenu : Les objectifs de cette première UE visent la découverte des différents aspects des métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation et l’aide à la construction et à la validation d’un projet d’orientation dans l’un, l’autre ou plusieurs de ces domaines. Cet enseignement, fondé sur l’observation clinique de cas concrets, permet d’aborder, de manière interactive, des savoirs essentiels ou des points de débats actuels comme la psychologie de l’enfant et de l’adolescent, l’école et les savoirs dans les banlieues et ailleurs…

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    • Travail d'Étude Mathématique (TEM 1) (3 crédits)

      Code : ENSMI4U12Langue : Français.

      Contenu : Stage d’initiation à la recherche. Travail sur un thème mathématique encadré par un enseignant-chercheur. Rédaction d’un rapport de recherche et soutenance orale.

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Semestre 5 du parcours MB

[ détails ]

  • Intégration sur Rn et transformée de Fourier (6 crédits)

    Code : ENSMI5U1Langue : Français.

    Contenu : Tribus, mesures . Tribu engendrée, tribu borélienne, mesure de Lebesgue sur R, ensembles négligeables, propriété vraie presque partout. Fonctions mesurables, étagées. Construction de l'intégrale de Lebesgue. Intégrale d'une fonction étagée positive, d'une fonction mesurable positive, propriétés. Fonctions intégrables à valeurs dans C. Intégrale d'une fonction intégrable, propriétés. Théorèmes de convergence. Convergence monotone, Convergence dominée, lemme de Fatou, Théorème de Vitali, convergence en mesure. Application à la continuité et la dérivabilité de t› ?f(x,t)dm(x). Espaces Lp. Espace L2, analyse hilbertienne, Espaces Lp Inégalités de Hölder, de Fubini. Changement de variable dans Rn. Cas particulier des coordonnées polaires et sphériques. Convolution. Transformée de Fourier. Dans L1(Rn). Propriétés élémentaires, formule d'inversion de Fourier. Formule de Plancherel, définition de la transformée de Fourier dans L2(Rn). Exemples d'utilisation de la transformée de Fourier pour la résolution d’équations aux dérivées partielles à coefficients constants.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Histoire des sciences (3 crédits)

    Code : ENSMI5U7Langue : Français.

    Contenu : On esquissera la situation de l’infini dans les mathématiques actuelles en présentant deux idées génératrices de cette notion d’infini qui remontent toutes deux à une conception philosophique dans la pensée hellénique. L’infini comme obstacle. Dès ses origines la mathématique grecque s’est heurtée à l’infini. Néanmoins les mathématiciens grecs ont réussi à surmonter cet obstacle épistémologique en contournant ou en évacuant le problème de l’infini. Nous partirons de la découverte de l'irrationalité et l'effort mathématique pour dépasser le problème de l’infini en insistant sur l’usage de la méthode d’exhaustion par Hippocrate de Chio (2ème moitié du Vème siècle av. J.-C.) et Archimède (287 – 212 av. J.-C.). L’infini comme concept positif. Ce second grand moment dans l’histoire de l’élaboration de ce concept se situe au XVIIème siècle. Entre des motivations philosophiques, théologiques et physiques, le traitement proprement mathématique de l’infini conduira à la construction d’une géométrie de l’infini et d’un calcul infinitésimal. Nous étudierons l’élaboration de ce concept par les travaux de deux grands mathématiciens. Desargues (1591-1661) qui bouscule la tradition en construisant une géométrie de l’infini dans un espace fini, celui de la sphère. Leibniz (1646 – 1722) qui fonde le nouveau calcul de l’infini (calcul différentiel et intégral) en surmontant les difficultés provenant directement de la nouvelle science du mouvement. L’infini comme tradition et nouveauté. La notion de nombre, voire des nombres complexes et réels, sur laquelle reposent les travaux en analyse et théorie des nombres durant les XVIIème et XVIIIème siècles, n’a pas été définie depuis les Eléments d’Euclide où la théorie des proportions donnait un statut aux grandeurs incommensurables. Il faudra attendre le XIXème siècle pour que les concepts de nombre, de continu et avec eux d’infini soient l’objet d’une construction mathématique rigoureuse. On se concentrera d’abord, sur la définition rigoureuse de la continuité et la construction du concept de nombre irrationnel dans les travaux de Richard Dedekind (1831 – 1916) et ensuite, sur la redéfinition du concept de nombre qui inclut celui de nombre infini comme cardinal d’un ensemble infini dans la théorie des ensembles de Georg Cantor (1845 – 1918).

    Volume horaire : 12h de CM - 18h de TD - 

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  • Calcul différentiel et optimisation (6 crédits)

    Code : ENSMI5U10Langue : Français.

    Contenu : Calcul différentiel. Différentielle en un point d'une fonction définie sur un ouvert d'un espace de dimension finie, fonction différentiable sur un ouvert, propriétés, lien avec la continuité. Dérivée suivant un vecteur. Différentielle d'une composée, d'un produit, d'un quotient. Inégalité des accroissements finis. Dérivées partielles d'ordre supérieur, fonctions Ck, théorème de Schwarz. Inégalité de Taylor-Lagrange, expression intégrale du reste, formule de Taylor-Young. Sous-variétés. Inversion locale. Difféomorphismes. Sous-variétés de R^N. Espace tangent, espace normal. Ensembles de niveau. Théorème des fonctions implicites. Optimisation. Existence, unicité et condition nécessaire d'optimalité (équation d'Euler) pour le problème sans contrainte (extrema libres), puis pour le problème avec contraintes (extrema liés). Multiplicateurs de Lagrange pour les contraintes égalités. Lagrangien et point selle. Quelques algorithmes de recherche d'extremum par méthode directe (méthodes de gradient), équation d'Euler (méthode de Newton).

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Physiologie cellulaire (6 crédits)

    Code : ENSBI3U10Langue : Français.

    Contenu : Grands principes de physiologie : Les molécules du vivant · Physiologie cellulaire : métabolisme cellulaire => Les organites · Physiologie cellulaire : échanges avec l´environnement => La perméabilité membranaire. Communications intercellulaires et Grandes fonctions : Molécules informatives => mode d’action ; Régulation de l’homéostasie =>Introduction aux systèmes nerveux & endocrinien & au contrôle de leurs effecteurs. Les TD seront réalisés par les étudiants sous la forme d´exposés portant sur des exemples de grandes fonctions de physiologie humaine (circulation, respiration, excrétion, digestion). Les TP porteront sur la perméabilité membranaire des globules rouges.

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  • Anglais S5 (3 crédits)

    description non disponible.

  • 6 crédits à choisir
    • Analyse numérique et optimisation (6 crédits)

      Code : ENSMI5U4Langue : Français.

      Contenu : Systèmes linéaires. rappels sur les méthodes directes, conditionnement, exemples de méthodes itératives. Systèmes non linéaires. Méthodes de point fixe, méthode de Newton en dimension n. Optimisation. Sans contrainte, théorèmes d’existence et d’unicité, méthode de descente, algorithme du gradient conjugué, méthodes de Newton et quasi-Newton. Optimisation avec contraintes, théorèmes d’existence et d’unicité, méthodes de gradient avec projection, méthodes de dualité.

      Volume horaire : 18h de CM - 24h de TD - 18h de TP - 

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    • Géométrie affine et euclidienne (6 crédits)

      Code : ENSMI5U5Langue : Français.

      Contenu : Espaces affines . Espace affine et espace vectoriel associé. Application affine et application linéaire associée. Sous-espaces affines, barycentres. Repères affines, équations d'un sous-espace affine. Parties convexes, enveloppe convexe d'une partie d'un espace affine réel. Barycentres, coordonnées barycentriques. Isométries. Décomposition commutative d'une isométrie en une translation et une isométrie à point fixe. Décomposition d'une isométrie en produit de réflexions. Similitudes, interprétation à l'aide des nombres complexes dans le cas de la dimension 2. Étude des isométries en dimension 2 et 3. Exemples de groupes d'isométries en dimension 2 (groupe diédral). Étude des coniques dans un espace euclidien. Compléments de géométrie . Angles en dimension 2 : angles de vecteurs, angles de droites. Théorème de l'angle inscrit. Cocyclicité. Puissance d'un point par rapport à un cercle. Faisceaux de cercles. Sphères. Intersection d'une sphère et d'un plan, de deux sphères. Géométrie du triangle, relations métriques. Coniques. Définitions focales, bifocales. Équation cartésienne d'une conique ; réduction en repère orthonormal. Représentations paramétriques d'une conique. Equation polaire d'une conique dont un foyer est à l’origine, la directrice associée et l’excentricité étant données.

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Topologie et analyse (6 crédits)

      Code : ENSMI5U9Langue : Français.

      Contenu : Topologie dans un espace métrique . Ouverts, fermés, intérieur, adhérence. Parties denses. Topologie induite. Caractérisation des fermés, de l’adhérence et de la densité en termes de suites. Continuité. continuité uniforme, fonctions lipschitziennes. Homéomorphismes. Espaces complets, espaces de Banach. Théorème du point fixe. Espaces compacts, caractérisation par les recouvrements ouverts, par les suites, théorème de Heine. Caractérisation dans un espace vectoriel de dimension finie. Applications linéaires continues, norme d'une application linéaire continue. Connexité, connexité par arcs, composantes connexes. Analyse hilbertienne . Espaces de Hilbert en dimension quelconque. Orthogonalité. Pythagore, projection sur un convexe, projecteur orthogonal, théorème de représentation de Riesz, base hilbertienne.

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Biologie Moléculaire et Génétique (6 crédits)

      Code : ENSBI3U2Langue : Français.

      Contenu : Cours général : Transcription Traduction et Genetique moléculaire Biologie moléculaire eucaryote : les génomes eucaryotes , structure du gène eucaryote, régulation de la transcription, maturation des ARNm, régulation de la traduction TDs portant sur l'analyse moléculaire du gène eucaryote et de son expression : clonage, Southern, Northern, Western, hybridation in situ .... Biologie moléculaire procaryote : Les génomes bactériens, Structure des gènes chez les bactéries, Régulation transcriptionnelle de base, les opérons TDs portant sur les enzymes de restriction, les vecteurs, le clonage, les banques, la PCR, le séquençage de l'ADN, la régulation de l'expression des gènes chez les procaryotes TP : Production et isolement d'une protéine de fusion ; isolement et analyse d'ADN plasmidique.

      Volume horaire : 30h de CM - 20h de TD - 10h de TP - 

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  • UE supplémentaire
    • Métiers de l'enseignement 2 (automne) (3 crédits)

      Code : CASEDUC3

      Contenu : Cette seconde UE (aux semestres 4 ou 6), si les étudiants confirment leur choix d’orientation vers les métiers de l’enseignement de l’éducation et de la formation, vise l’approfondissement, par groupe d’étudiants de l’une des thématiques évoquées lors de l’UE précédente ; au choix des étudiants et à la faveur de travaux personnels encadrés.

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Semestre 6 du parcours MB

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  • Équations différentielles (6 crédits)

    Code : ENSMI6U2Langue : Français.

    Contenu : Équations différentielles. Exemples de phénomènes dont la modélisation conduit à des équations différentielles ; théorème de Cauchy-Lipschitz ; solution maximale-solution globale ; résolution analytique d'équations différentielles (linéaires, de Bernoulli, résolution par les séries entières,…) ; schémas numériques d'approximation des solutions de problème de Cauchy ; systèmes différentiels linéaires et comportement asymptotique des solutions (théorème de Liapunov).

    Volume horaire : 24h de CM - 18h de TD - 18h de TP - 

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  • Probabilités et statistiques 2 (6 crédits)

    Code : ENSMI6U4Langue : Français.

    Contenu : Espace de probabilités. Variables aléatoires. Loi d'une variable aléatoire. Espérance. Fonction de répartition. Vecteurs aléatoires. Matrice de covariance. Conditionnement. Indépendance. Lemme de Borel-Cantelli. Fonctions caractéristiques. Vecteurs Gaussiens. Inégalité de Markov. Convergence de suites de variables aléatoires. Somme de variables aléatoires indépendantes. Loi des grands nombres. Convergence en loi. Théorème central limite. Statistique des échantillons gaussiens : estimation, intervalle de confiance, tests. Test du chi2. Lemme de Neyman-Pearson.

    Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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  • Bioinformatique appliquée (3 crédits)

    Code : ENSBI4U2Langue : Français.

    Contenu : Introduction aux bases de données bibliographiques et de séquences biologiques. Recherche d'homologie de séquence par Blast. Les Banques de données biologiques. Analyse et Comparaison de séquences. Annotation des séquences. TD : Initiation aux outils bioinformatiques par la pratique (sur Internet) – Centre de ressources – Banques de séquences – Analyse de séquence et comparaison de séquence par Blast.

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  • Structure et Fonction des Protéines 1 (3 crédits)

    Code : ENSBI4U3Langue : Français.

    Contenu : 1- Stratégie pour l’étude des protéines Méthodologie : purification, dosage, électrophorèse, détermination du poids moléculaire, composition globale et séquence en acides aminés, dichroïsme circulaire Protéomique : électrophorèse 2D, spectro de masse Structurale : notion de RMN et de cristallographie 2- Structure spatiale des protéines Conformation, liaisons impliquées, niveaux d’organisation structurale Structure secondaire et motifs structuraux Structure tertiaire et notion de domaine Structure quaternaire 3- Les différentes classes de protéines Alpha, béta, alpha/béta et alpha+beta Exemple de relation structure/fonction : hémoglobine et anticorps 4- Le reploiement des protéines Notion de stabilité et de dénaturation

    Volume horaire : 14h de CM - 8h de TD - 8h de TP - 

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  • 12 crédits à choisir
    • Mathématiques discrètes (6 crédits)

      Code : ENSMI6U1Langue : Français.

      Contenu : Combinatoire . Arrangements, combinaisons. Problèmes classiques combinatoires. Bijections. Exemple : mots de Dyck, arbres binaires et autres applications des nombres de Catalan. Récurrences, nombres de Fibonacci et leurs généralisations. Graphes . Définitions, connexité. Couplages, graphes bipartis. Graphes planaires, formule d'Euler, discussion de coloriages. Arithmétique . Congruences, équations linéaires modulo n (théorème de Bézout et théorème des restes revisités). Polynômes modulo p, le nombre de racines. Le groupe (Z/nZ)*, fonction d'Euler, générateurs, logarithme discret, équations. Carrés et non-carrés, la loi de réciprocité quadratique. Fonctions arithmétiques multiplicatives. Cryptographie classique et à clé publique.

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Algèbre et géométrie (6 crédits)

      Code : ENSMI6U3Langue : Français.

      Contenu : Polynômes. Le théorème fondamental de l'algèbre (Gauss-d'Alembert). Réduction des endomorphismes. Complexification d'un espace vectoriel réel. Polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton. Sous-espaces caractéristiques, décomposition de Dunford, réduction de Jordan. Exponentielle de matrices. Utilisation pour la résolution de systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. Lemme des noyaux. Espaces euclidiens et hermitiens . Exemples de suites de polynômes orthogonaux. Adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes auto-adjoints. Endomorphismes normaux et réduction des endomorphismes normaux. Automorphismes orthogonaux, unitaires, matrices orthogonales, unitaires. Groupe orthogonal. Symétries orthogonales, projections orthogonales. Diagonalisation des endomorphismes auto-adjoints, version matricielle. Réduction des automorphismes orthogonaux, unitaires. Factorisation d'un automorphisme orthogonal en produit de symétries hyperplanes. Formes bilinéaires, formes quadratiques. Matrices symétriques positives, définies positives. Caractérisations, racines carrées, factorisation de Cholesky. Les groupes de Lie classiques : GL(n,\R), GL(n,\C), SL(n,\R), SL(n,\C), O(n) SO(n) U(n) SU(n).

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Géométrie différentielle (6 crédits)

      Code : ENSMI6U5Langue : Français.

      Contenu : Courbes planes : définitions, tangente, étude locale. Courbes en coordonnées polaires. Propriétés métriques : longueur d'un arc paramétré, abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure. Surfaces : définitions, plan tangent, normale. Courbures, géodésiques, courbure principale. Plongements, immersions. Théorème de Gauss-Bonnet.

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Cryptographie (6 crédits)

      Code : ENSMI6U6Langue : Français.

      Contenu : Codage : définition codage, entropie, codage sans perte, uniquement déchiffrable, lemme de Gibbs, théorème de Kraft, 1er théorème de Shannon, codage de Huffman, arbre de Huffman, théorème de McMillan, codage optimal. Code correcteur d'erreur : rendement d'un code, énoncé 2ième théorème de Shannon, capacité d'un canal, canal symétrique ; code linéaire, distance de Hamming, bornes diverses, matrice génératrice, matrice de contrôle (passage de l'une à l'autre), exemples de codes. Cryptographie : cryptographie classique (décalage, substitution, Vigenère, Hill), schéma de chiffrement, de signature, classification des attaques, primitives classiques, quelques notions de complexité pour estimer les tailles, description des modes de chiffrements par blocs, description de DES, AES, chiffrement à clé publique, RSA avec des attaques, signature RSA, ElGammal, échange de clé (attaque homme du milieu). Le cours est accompagné de TD (exercices sur feuilles) et de TP (exercices sur machine à l'aide du logiciel SAGE (en python)).

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Structures algébriques (6 crédits)

      Code : ENSMI6U10Langue : Français.

      Contenu : Groupes. homomorphismes de groupes. Ordre d'un élément dans un groupe ; groupes cycliques. Groupe opérant sur un ensemble, stabilisateur, équation aux classes. Structure des groupes abéliens finis. Théorèmes de Sylow. Anneaux et corps. Anneaux, anneaux commutatifs, anneaux intègres. Caractéristique d'un anneau. idéaux, anneaux-quotients. Idéaux premiers, maximaux. Anneaux factoriels, principaux, euclidiens ; propriétés de Gauss, d'Euclide, de Bézout. Exemples d'extensions de corps, éléments algébriques, transcendants. Corps de rupture, corps des racines d'un polynôme.

      Volume horaire : 24h de CM - 36h de TD - 

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    • Travail d'Étude Mathématique (TEM 2) (6 crédits)

      Code : ENSMI6U11Langue : Français.

      Contenu : Stage d’initiation à la recherche. Travail sur un thème mathématique encadré par un enseignant-chercheur. Rédaction d’un rapport de recherche et soutenance orale.

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    • Métiers de l'enseignement 3 (6 crédits au printemps)

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    • Unité libre de 6 crédits

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    • Stage de 6 crédits

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Informations diverses

Secrétariats pédagogiques :

Modalités d'inscription

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